拋物方程的非協(xié)調(diào)類Wilson元超收斂性分析和外推

2024年3月12日發(fā)(作者：awhile)

高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)　

２０１２，２７（３）：２９３—３０２　

拋物方程的非協(xié)調(diào)類Ｗｉｌｓｏｎ元超收斂性分析和　

外推　

馬國鋒　，石東洋　

ｆ１．許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南許昌４６１０００；　２．鄭　’Ｉ＇ｌ大學(xué)數(shù)學(xué)系，河南鄭９。Ｉ＇１　４５００５２）　

摘要：本文主要研究類Ｗｉｌｓｏｎ元對(duì)拋物方程的逼近．當(dāng)問題的解　∈Ｈ０（Ｑ）及　∈　

Ｈ　ｆ【２１時(shí)，利用該元的非協(xié)調(diào)誤差在能量模意義下分別可以達(dá)到Ｏ（ｈ　）和０（　０）比其插　

值誤差高一階這一特殊性質(zhì)，運(yùn)用對(duì)時(shí)間ｔ的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧，再結(jié)合雙線性元的高精度　

分析及插值后處理技術(shù)，導(dǎo)出了Ｏ（ｈ２１階超逼近性質(zhì)和整體超收斂．進(jìn)一步地，通過構(gòu)　

造了一個(gè)新的外推格式，得到了具有更高精度０（　０）階的外推結(jié)果．　

關(guān)鍵詞：拋物方程；類Ｗｉｌｓｏｎ￣；高精度分析；插值后處理；外推　

中圖分類號(hào)：０２４２．２１　

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Ａ　文章編號(hào)：１０００－４４２４（２０１２）０３—０２９３—０１０　

§１　

引　言　

’　

（　，ｔ）∈／２×（０，　］，　

（Ｘ，ｔ）∈ａ　×（０，　］，　

Ｘ∈　．　

（１）　

這里／２　ｃ　Ｒ０是具有Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ連續(xù)邊界的有界凸多邊形區(qū)域，Ｔ∈（０，ｏｏ）為一定值，Ｘ＝（ｚ，　），　

ｆ（Ｘ，ｔ）及札０（　）為給定的光滑函數(shù)．　

大量物理現(xiàn)象可由上述拋物方程來描述（比如熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散，生物力學(xué)等實(shí)際問題），并已出　

現(xiàn)了許多有關(guān)此類方程的有限元方法研究【ｌｌ　５Ｉ．其中ｆ１］討論了在矩形網(wǎng)格下雙ｐ次元的超逼近　

性質(zhì)．ｆ２１探討了一維情形下的連續(xù)有限元方法，得到了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的超收斂性．ｆ３—４】研究了各　

向異性網(wǎng)格下的雙二次元逼近，通過積分恒等式和插值后處理技術(shù)，得到了相應(yīng)的超逼近和超　

收斂結(jié)果．『５１提出并分析了問題（１）的ｍｏｒｔａｒ元方法的收斂性，得到了Ｌ０模及能量模的誤差估計(jì)．　

ｆ６１及ｆ７１分別在正則網(wǎng)格和各向異性網(wǎng)格下給出了Ｓｏｂｏｌｖｅ型方程Ｗｉｌｓｏｎ元解的高精度分析，利　

收稿日期：２０１１—１１—０１　修回日期：２０１２—０７—０４　

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（１Ｏ６７ｌ１８４；１０９７１２０３）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（２００ｇ４ｌ０ｌ１１００Ｏ６）；河南　

省科技廳項(xiàng)目（１２２３００４１０２６６）；河南省教育廳項(xiàng)目（１２Ａｌ１００２１）　

２９４　高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)　第２７卷第３期　

用Ｗｉｌｓｏｎ元插值的線性部分與雙線性元解一致的特點(diǎn)，得到了Ｏ（ｈ　）的整體超收斂和后驗(yàn)誤差估　

計(jì)，分別給出了Ｏ（ｈ３）階和Ｏ（ｈ４）階的外推結(jié)果．ｆ８１在各向異性網(wǎng)格下研究了二階橢圓邊值問題　

的Ｗｉｌｓｏｎ元方法，并用類似于ｆ６．７］的技巧，得到了超收斂結(jié)果．ｆ９１和ｆ１０］分別討論了粘彈性方程　

的ＡＣＭ元和二階橢圓問題的一個(gè)新的Ｈｅｒｍｉｔｅ型矩形元的超收斂及外推．但是，關(guān)于方程（１）的　

非協(xié)調(diào)元的外推還未見詳細(xì)的報(bào)道．　

本文將主要討論問題（１）的類ｗｉｌｓｏｎ元在矩形網(wǎng)格下解的超收斂和外推．由于ｆ６１和ｆ７１中的方　

法對(duì)方程（１）不再適用，利用『１１］￣［１２］中分別證明的相容誤差比插值誤差高一階和二階的性質(zhì)，　

通過對(duì)時(shí)間　的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧，結(jié)合對(duì)雙線性元已有的高精度分析【１３］及插值后處理技術(shù)，導(dǎo)出了　

與【８卜一樣的Ｏ（　０１階超逼近性質(zhì)和整體超收斂結(jié)果．進(jìn)一步構(gòu)造了一個(gè)新的外推格式，得到了具　

有Ｏ（ｈ０）階精度的近似解，從而豐富了非協(xié)調(diào)有限元的研究內(nèi)容．同時(shí)文中也指出，本文的超逼　

近和超收斂結(jié)果對(duì)『１１中所討論的廣義矩形網(wǎng)格也是成立的．　

§２單元構(gòu)造與有限元逼近　

設(shè)露＝［一１，１】×［一１，１］為參考單元，四個(gè)頂點(diǎn)分別為五：［一１，一１】，盈＝［１，一１］，　＝　

［１，１］，五＝［－１，１］．類ｗｉ１ｓｏｎ有限元（露，聲，　）定義如下　

Ｐ＝ｓｐａｎ｛　（　，叩），（ｉ＝１，２，３，４），　（　），　（叩）），　

寶＝　ｃｉ＝１，２，３，４，，麗１　籌　叼，高　等　

其中　

＝　

（　（　叩）＝　（１＋已ｆ）（１＋　叩），（　１，∈２，∈３，　）：（一１，１，１，一１），　

（研１，叼２，叼３，”４）＝（一１，一１，ｌ，１），　（ｔ）＝去（ｔ　一１）一　５２、ｔ　一１）．　

則露上的形函數(shù)可表示為　

４

＝　

洲　一　

是　的一個(gè)矩形網(wǎng)格剖分，滿足正則　設(shè)　是一個(gè)矩形區(qū)域，其邊ａ　分別平行于　軸￥ｎｙ軸　

性條件．設(shè)Ｋ∈　，Ｋ的中心點(diǎn)為ｘＫ，　），四個(gè)頂點(diǎn)分別為Ａｉ＝（ＸＫ—　，Ｋ，ＹＫ—　，　），Ａ２＝　

（ＸＫ＋ｈ　，Ｋ，ＹＫ—ｈｙ，　），Ａａ＝（ＸＫ＋　，Ｋ，ＹＫ＋ｈｙ，　），Ａ４＝（ＸＫ—ｈ　，Ｋ，ＹＫ＋ｈｙ，　），邊分　

別為２１＝—Ａ１—Ａ２，２２＝—Ａ２—Ａ３，２３＝—Ａａ—Ａ４，２４：—Ａ４—Ａ１，這里２　

Ｋ￣２ｈｙ，Ｋ分別為沿Ｘ．軸方向與　

，

沿Ｙ一軸方向的邊的長度．　為　的直徑，ｈ＝ｍ

ａｘ　

～

．　

定義仿射變換Ｆ　：Ｋ—　如下　

Ｘ　＝ＸＫ＋∈　，Ｋ，　Ｙ　＝ＹＫ＋叼　，Ｋ　

對(duì)任意Ｋ上函數(shù)　（　，　），定義　

（∈，叩）＝ｖ（ｘ　（∈），ｙｇ（叩））　

馬國鋒等：拋物方程的非協(xié)調(diào)類Ｗｉｌｓｏｎ元超收斂性分析和外推　２９５　

在矩形單元　上，定義形函數(shù)空間　

：

｛ｐ：Ｉｐ＝　。　，ｊ弓∈聲）　

∈，＾，　在邊界節(jié)點(diǎn)上為零）．容易　

／●●，（１●　

設(shè)　九為　上相應(yīng)的有限元空間，Ｖｈ＝｛　：　ｆＫ∈　，　

驗(yàn)證Ｉ．｝ｈ＝（∑Ｉ．　Ｋ）　是　ｈ上的模．對(duì)任意口＾∈Ｖｈ，＂＾可表示為　＾：　＋　ｊ，其中　和　ｊ分　

ＫＣｒｈ　

別表示　ｈ的協(xié)調(diào)部分和非協(xié)調(diào)部分．　

∑Ｋ　

）０　

引理１　。】Ｖ＂ｈ∈Ｖ　，ｑ∈Ｐ１（　），則有　

ｕ　

－

￡，＾ｌ２＾＋Ｊ　＾１ｆ　２＝｝　Ｉ　，Ｉ　１０　Ｃｈｌｖ１１￣　

磐　籌　。　

＝　

ＪｏＫ　禮　

廠　州　

Ｃｈ。Ｉ　Ｉ３Ｉｕ　Ｊ九，　∈Ｈ。（　），　

…　（　）　

Ｋ　

這里　（　）是　上一次多項(xiàng)式，ｎ為單位外法向量，Ｃ為與　無關(guān)的正常數(shù)　

與（１）等價(jià)的變分問題為：求ｕ∈礎(chǔ)（力），使　

Ｖｖ∈硪（仃）　

Ｘ∈　．　

設(shè)　ｈ為雙線性元空間，　為　ｈ上的插值算子，則（６）的離散問題為：求¨ｈ∈　，使　

Ｉ（ｕ｝，Ｖｈ）＋（Ｖｈｕｈ，　ｈ＂ｈ）ｈ＝（，，　

Ｖｕ＾∈Ｖｈ

，　

Ｉ　ｕ＾（　，０）＝　ｕ０（　），　

Ｘ∈　．　

其中，　ｈ表示分片求導(dǎo)，（ｕ，ｖ）ｈ＝　／ｕｖｄｘｄｙ　／‘　一　

ｊ　Ｋ　

§３超逼近和整體超收斂　

下面的結(jié)論在本文的分析中起著關(guān)鍵作用　

弓Ｉ理２［１，１３］　ｖ　Ｖｈ∈　，貝０有　

（　一　州咖　｛　ｈ２ｌ

ｕ　［３ｌ　Ｖｈｌｈ，　ｕ

ｕ

∈

ｅ　Ｈ３（　￣２；　

引理３設(shè)　＝札一，ｈ亂，則有　

（３）　

（５）　

∑　

２９６　高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)擔(dān)　第２７卷第３期　

證　由Ｃａｕｃｈｙ．Ｓｃｈｗａｒｔｚ不等式，插值理論及（３）得　

Ｖ

一

‘　

Ｃｈ　

‘Ｉ　ｌ２ＩＶ　

ｌ　

ｈ　

：　

—　

Ｉｈ　（Ｖｈ＇．＂

）１０

ＩＶｈｖ　￣ｌｏ

１ｗｌ３１Ｖｈ　１．ｈ　

ｆ。　Ｌ／ｎ　

（８）　

。ｌ　一Ｉｈｕｌ３　Ｉｈ：Ｃｈ　３　ｌｈ．　

注意到面　∈　＾，由（２），引理２及（８）式得　

（　，ｖ＾ｕ　）九：（　ｈ　，ＶｈＶｈ）ｈ＋（　ｈ　，Ｖｈ　）　

Ｃｈ２１ｕｌ３　５　ｈｌｈ＋Ｃｈ。ｌｕＩ３Ｉ　Ｉｈ　Ｃｈ　ｌ“，ｌ３ｌ　ｈＩｈ‘　

令ｎｈ為日　（　）　Ｑ≥（雙二次有限元空間）的插值算子，根據(jù)插值理論和逆不等式得　

：

Ｉ　

１

：　蚤　

（　）１０ｌＶ＾　ｌｏ　ｃｈ　１　＾　１３１　１　Ｌ／ｎ　ｆ　

１　

ｈ　—　ｈ

’　

ｃ９　

Ｃｈ＋ｌｕｔ４　Ｉｌ　Ｃｈ。ｔ￣ｔ４ｔｖｈｔｏ?　

（９）再結(jié)合弓Ｉ理２得　

（ｖｈ　，　ｖｈ）ｎ　Ｃｈ。ｌＩ“　ｈ　１０－　

定理１設(shè)ｕ，　分別為（６）和（７）的解，“，“，ｔ∈硪（　）ｎ日。（　），則有下面的超逼近性和收斂　

性結(jié)果　

ｊ　ｕ—ｕｈ１ｈ　ｃｈ。［　（１ｕｔｌ；＋１ｕｔｌ；）ｄｓ＋ｌｕＩ；］　，　

（１Ｏ）　

Ｉ　一　ｈＩ　ｃ　｛【／二　（１札　ｌｉ＋１ｕｔ１；）ｄｓ＋　．ｕ償】　＋｛ｕｌ　）?　

進(jìn)一步地，當(dāng)　，仳　∈碥（　）ｎＨ　（　）時(shí)，有　

Ｉ　一　ｈｆ　Ｃｈ。［Ｊ（。（１ｕ　ｌ　＋１ｕ　Ｉ）ｄｓ］　，　

【　一釓ｈＩ＾　｛ｌ　　ｌ＋【　（Ｉ　ｔ１；十Ｉ　ｌｉ）ｄｓ］　）?　

證對(duì)任意　∈　ｈ由（１）和（７）可得誤差方程　

＋（　以　）ｈ：　

令　ｈ：　，則　

）一（　）＾＋∑

Ｋ　

州ｓ　

Ｌ

ｊ８Ｋ　ｏ訊　

廠　Ｏｄ　

Ｋ　

馬國鋒等：拋物方程的非協(xié)調(diào)類Ｗｉｌｓｏｎ：，Ｌ超收斂性分析和外推　

（１５）式右端第一項(xiàng)司估計(jì)為　

Ｉ（　ｔ，　）ｌ　Ｃｈ　ｌｕｔ１２１ｏｔＩｏ　Ｃｈ　ｌ“ｔｌ；＋Ｉ　ｌ３，　

由引理３和（４），（１５）式右端第三項(xiàng)和第五項(xiàng)分別估計(jì)為　

Ｉ（　ｔ，Ｖ￣Ｏ）ｈＩ　Ｃｈ　ｌｒ“ｔ１３１ｏ１０　Ｃｈ　ｌｕｔｌ；＋Ｃｌｅｌ［，　

Ｉ∑

Ｏｕｔ　ｌ　１　ｌ

＾　　ＩｔＩ；　　１

Ｋ　Ｋ　

利用（１６）一（１８）將（１５）變形為　

ｌ　ｄ　Ｃｈ４（ｆｕ　２）＋　＋　ｄ　

ｓ　

ｄ（Ｖ

ｈＷ，Ｖｈｇ　

Ｋ　

上式兩邊從０到ｔ積分并利用ｏ（ｘ，０）：０得　

／ｏ　（　ｔ１２）ｄｓ＋Ｃ　＋　Ｋ　ＯＵ　一（Ｖ￣ｗ，ＶｈＯ　

由（４）知　

＜

Ｃｈ２Ｉ，“　ｈ￣－ＣｈａＩ　１

．

＿

根據(jù)引理３知　

一

（　ｈ　，Ｖ￣０）ｈ　Ｃｈ　ｆｕｆ３Ｉ　ｆ＾　Ｃｈ　ｆｕｆ§＋　ｆ　Ｉ　．　

由（１９）一（２１）式得　

Ｉ　　Ｉｃ　（　０　（１ｕｔＩ　＋ｌ，“　１；）ｄｓ＋１ｕｌ；）＋；ｏ　　ＩＩ　＋　１Ｊ　０　Ｉ　ｄｓ．　

再由Ｇｒｏｎｗａｌｌ￣ｌ理可導(dǎo)出　

ＩＯｌｈ　Ｃｈ　［（／（１ｕｔＩ；＋Ｉ　Ｉ￣）ｄｓ＋Ｉ亂ｌ２３，Ｊ１　，　

即（１０）式成立．利用三角不等式及插值理論得　

　ｆ一ＵｈＩ＾　ｌｎ—Ｉｈｕｌｈ＋ｌｉｅｕ一　ｈｆ＾　Ｖｈｌｕｌ２　４－Ｃｈ　［／（１ｕｔｆ；＋ｆ　ｔＩ￣）ｄｓ＋ｌ　Ｉ；］　

ｔ　

０　

｛【／（１￣ｔｌ；＋ｌｕｔｌ￣）ｄｓ＋Ｉ　Ｉ３２　Ｊ　ｚ１＋ｊｕ　　Ｊ）．　

另一方面，當(dāng)ｕ，ｕｔ∈礎(chǔ)（　）ｎ　Ｈ　（　）時(shí)，對(duì)（１４）式各項(xiàng)分別重新進(jìn)行估計(jì)．　

根據(jù)插值理論，（１４）式中第一項(xiàng)可估計(jì)為　

ｌ（　￡，ｕ＾）１　Ｃｈ。ｌｕｔＩ￣ｌｖｈｌｏ　Ｃｈ　Ｉ“ｔＩ；＋ｌＩｖｈｌｌ￣ｏ，　

再由引理２，（１４）式中第二項(xiàng)可估計(jì)為　

１（　ｈｕ，ＶｈＶ￣）ｈｌ　Ｃｈ　ｌｕｌ４１ｖｈｌｏ≤Ｃｈ　ｌｕＩｉ＋ｃｌｖｈｌ￣，　

２９７　

（１６）　

（１７）　

（１８）　

（１９）　

（２０）　

（２１）　

（２２）　

（２３）　

２９８　高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)　第２７卷第３期　

利用逆不等式和（５），（１４）式中第三項(xiàng)可估計(jì)為　

ｄｓ＜　

Ｋ　

ｌ　『ｈ＜＿Ｃｈ２ｌ　ｌｏ￣Ｃｈ４　

（２４）　

因此，根據(jù)（２０）一（２２），（１４）式可估計(jì)為　

（　，ｕ　）＋ＷｈＯ，ＶｈＶｈ）ｈ　Ｃｈ　（１ｕｔＩｉ＋ｌｕｌ１）＋ｃＩＩｖｈ　

在（２５）中令Ｖ＾＝　得　

（２５）　

三ｄｌ０１￣　ｃ　（１札　）　

對(duì)（２６）式兩邊從０到　積分并利用　ｆ　，０）：０得　

（２６）　

ＩＯｌｈ　Ｃｈ。［（／（１ｕｔＩ　＋　）ｄｓ】　，　

＿，０　

即（１２）式成立．　

再根據(jù)三角不等式和插值理論得　

ｔ　

　一　＾ＩＩｈ　Ｊ釓　

札Ｊ＾＋Ｉ　一ｒ“ｈｌｈ　Ｃｈ。｛ｌｕｌ￣＋［／（Ｉ釓　Ｉ；＋Ｉ釓　）ｄ８］　）　

定理得證．　

為了

得到整體超收斂，設(shè)　∈Ｆ２ｈ是由，　中相鄰四個(gè)單元合并構(gòu)成的一個(gè)大單元

４

，

記　

為　Ｕｌ　?在大單元上，在　上同［１］一樣構(gòu)造如下的插值后處理算子Ⅱ；ｈ．　

Ⅱ；　仳　Ｉ霞∈Ｑ２（　），　Ｖｕ∈ｃ（Ｒ）　

其中Ｑ２（　）為　上雙二次Ｌａｇｒａｎｇｅ多項(xiàng)式空間，　（　）為　上的連續(xù)函數(shù)空間

則有　

，

Ⅱ；ｈ　札＝Ⅱ；　ｕ　

（２７）　

（２８）　

Ⅱｌｈ　—　ｌ１　

其中　是雙二次有限元空間．　

Ｃｈ。　３

，　

ｕ∈Ｈ。（　），　

Ｖｖ∈　，　

ＩⅡ；ｈｖｌ１　

ｃｉｖｉｌ，　

（２９）　

定理２在定理ｌ的假設(shè)下，則有下面超收斂結(jié)果　

ＩⅡ　２ｈｕｈ一札Ｉ　Ｃｈ。｛Ｉ釓Ｉｓ＋Ｅ／ｏ　（Ｉ　ｔｆ；＋Ｉ“ｔＩ；）ｄｓ＋ｌ亂ｔＩ；］　）．　

證　注意到Ⅱ；ｈ　“　一．“＝Ⅱ；ｈ　一ｎ；　亂＋Ⅱ；　一“，由（２７）和（２８）可得　

ＩⅡ；ｈ厶釓一ｕＩ１＝ｌⅡ；ｈ　一亂Ｉ１　Ｃｈ　Ｉ　ｌ３，　

再由（２９）及定理１　

ｌⅡ；＾ｕｈ一Ⅱ；　ｌ１＝『Ⅱ；　（　ｈ一厶札）Ｊ１　Ｃｌｕ　—Ｉｈｕ　Ｊ＾　

Ｃｈ。［／（１亂ｔｌ；＋Ｉ　ｔＩ￣）ｄｓ＋Ｉｕ　Ｊ；］　，　

馬國鋒等：拋物方程的非協(xié)調(diào)類Ｗｉｌｓｏｎ元超收斂性分析和外推　

Ｉｎ；ｈｕｈ－Ｕ　Ｉ＾。Ｉ　Ｅ／ｏ　（ＩｕｔＩ；＋Ｉ仳ｔ１；）ｄｓ＋Ｉ　ｌ；］　＋ｌ扎Ｉｓ）　．

§４外推　

Ｉｏ一　ｈｌ　ｃ　＾。【ｌｕＩｉ＋／ｌ亂　ｌ２４ｕ　Ｊ１ｉ．　

所以　（”）是礎(chǔ)（　）上的有界泛函，根據(jù)微分方程解的正則性理論可知　

Ｉ（　ｈ，Ｖｈ）＋（　ｈ　＾，ＶｈＶｈ）ｈ＝Ｌ（Ｖｈ），　ＶＶｈ∈Ｖｈ　

Ｉ　Ｉｈ～厶　ｌＩ＜Ｃｈ。［廠　（　；＋　）ｄｓ　

（Ｏｒ－ｈｃｐ　ｈ）＋（　（０－ｈ￣ｈ　）　州ｓ　

攀氍　

２９９　

（３０１　

（３１）　

（３２）　

（３３）　

（３４）　

（３５）　

（３６）　

高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)　第２７卷第３期　

利用（５）和Ｙ（）ｕｎｇ不等式得　

根　

據(jù)　

Ｏｕｔ（　ｄｓ１＜

Ｃｈ３Ｉ　山ｌ０－－ｈ￣ｈ１ｈ＜Ｃｈ６ｌ　

＿

０　…ｈ　２　．　（３７）　

變　

０一　ｈ　

一　

ｈ）ｄｓ＋Ｃｈ。ｌｕ￡Ｊｉ＋ｃＩｏ一　ｈｌ　

（３８）　

∑　、√．　

對(duì)（３８）兩端從０到　積分，￣

一　，　

Ｊｏ（ｘ，０）一　ｈ（　，０）＝０，并結(jié)合（５）得　

ｔ　ＩＩｏｔ一　Ｊ　Ｊ３ｄｓ＋去Ｊ　一　＾Ｉ　

ｄ　

＝　

（０－ｈ￣ｈ）ｄｓ＋Ｃｈ６　Ｊｏ　ＩＵｔ￣４２ｄｓ＋Ｃ／ｏ。１０－ｈ￣ｈ　ｓ　

Ｃｈ。１￣１４１ｏ一　ｈＩ　＋　＾。／ｆＪ０　　Ｉｉｄｓ＋　／１０一　ｈＩ２ｄ　

ｒｔ　

，。０　

√Ｏ　

ｒｔ　，’ｂ　

Ｃｈ。ｆ訓(xùn)ｉ＋ｃｌ　一　ｈｌ　＋Ｃｈ。／ＩＵｔＩｉｄｓ＋Ｃ／１０一　ｌ　ｄ。　

ｒｔ　０　Ｊ　０　

Ｃｈ。（Ｉ釓　＋／ｌ　“ｔＩｉｄｓ）＋Ｃ／１０一　ｈｌ　ｄｓ，　

即Ｉ　一＾　＾Ｉ２　Ｃｈ。（１訓(xùn)ｉ＋／ＩＵｔｌｉｄｓ）＋ｃ／１０一　ｈ　Ｊ　ｄｓ．　

根據(jù)Ｇｒｏｎｗａｌｌ￣ｌ理得　

１０一　ｈｌ　Ｃｈ。【Ｉｕ　＋／１　ｔｌ　ｄｓ】　．　

定理得證．　

與前面【１２】的定義方式類似，用　∈，。ｈ表示將，ｈ中相鄰九個(gè)單元合并構(gòu)成的一個(gè)大單元　

記為　＝Ｕ　Ｋｉ．在大單元上：Ⅱ３ｈＷ　ｉ賈∈Ｑ３（　），ｖｗ∈　（　），且　

Ⅱ；ｈ加（Ａ）＝ｗ（Ａｉ），　ｉ＝１，２，…，１６，　

其中　ｔ，ｉ＝１，２，…，１６為小單元的所有頂點(diǎn)，　

Ｑ３（　）為　上雙三次Ｌａｇｒａｎｇｅ多項(xiàng)式空間，ｃ（ｇ）　

為　上的連續(xù)函數(shù)空間．則有如下性質(zhì)　

Ⅱ；　ｕ＝Ⅱ；＾　，　

Ⅱ；　釓一　ＩＩ１　Ｃｈ。１１￣ｌｌ４　

Ⅱｉ＾ｖｉｉ１　ｃｌｌｖｌｌｌ，　Ｖｖ∈Ｖ　

定理４在定理２的條件下，設(shè)，魯，，警分別為矩形剖分　，　

（３９）　

（４０）　

（４１）　

中點(diǎn)加密后得到的網(wǎng)格，　

￣＾＝２Ⅱ　魯一Ⅱｉｈｕ＾為外推解，７２￣Ｕｔ∈Ｈ　（　），有　

ｕ一　＿ｌ１＝Ｏ（ｈ。）　

（４２）　

馬國鋒等：拋物方程的非協(xié)調(diào)類Ｗｉｌｓｏｎ￣Ｌ超收斂性分析和外推　３０１　

證　由（３４）及（３９）和（４１）得　

ｌｌ　

＝＝

ｌｌ２（ＩＩ３ｈ　ｕ￣　

Ⅱ　魯　“）＋２（Ⅱ　魯亂一　）一（Ⅱｉ　ｕ　～Ⅱ；ｈ　ｕ）～（Ⅱ；ｈ　～ｕ）Ｉ１　

ｌｌ２Ⅱ　（　魯　

一

～

：

羞　）＋２（Ⅱ　一札）一ｎ￣ｈ（ｕ＾一　一＾　）　

一

（ｎ；＾　

ｕ）＋　（Ⅱ　一ｎ；　）【ｌ１　

一

ｃ（１ｌｎ￣（ｕ　

一　魯ｕ—　）ｌｌ　十ｌＩⅡ　２“一亂ＩＩ　

＋ｌｌⅡ　（亂　一　

ｆｉ１＋ｌｌⅡ；ｈ　“一釓ｆｆ１＋　ｌｌⅡ　

２　

＝

Ⅱ；ｈ　ｌｌ１）　

∑厶．　

根據(jù)定理３得　

ＩＩｎ　（“魯一　導(dǎo)ｕ＿魯　皇＋

箬　魯一≥　）１　

ｌｌⅡ　（　“導(dǎo)一＾

魯　導(dǎo)ｌｌｌ＋　Ⅱ　（　魯一Ｉ￣ｑｏ）ｌｌ１　

＝

，

ｕ一

．

（４３）　

（４４）　

ｌＩ札皇一　號(hào)ｕ～　魯ｌＩ１＋Ｃｈｌｌ￣一　魯　ｌＩ１＝Ｏ（ｈ。）．　

同理　

／３　ｌ　ｌ＾一　

根據(jù)（４０）得　

一　ｈＩｌｌ＋　ｌ　～厶　ｆｌｆ１＝Ｏ（ｈ３）　

＋Ｉ４＝　Ⅱ　

由ｆ３１）得　

～　ｆｆ１十ｆｆⅡ　“一　＝Ｏ（ｈ。）．　ｆ４５）　

（ＩｌⅡ　一　ｌｌ１＋ｌｌⅡｉｈ　一　【ｌ１）　Ｃｈ＂。　ｌｌ３＝Ｏ（ｈ３）．　

根據(jù)（４３）一（４６）導(dǎo)出（４２）．定理得證．　

ｆ４６１　

注　因?yàn)椋郏保臁恐幸呀?jīng)證明了引理ｌ中的（４）在任意四邊形網(wǎng)格下成立

［１１中又已證明引理２的　

第一個(gè)結(jié)論在廣義矩形網(wǎng)格下亦適用，因此本文中的超逼近結(jié)果（即定理１中的第一個(gè)結(jié)　

，

論（１０）式）及定理２中的超收斂結(jié)果在廣義矩形網(wǎng)格下也是正確的

．　

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Ｓｕｐｅｒｃ０ｎＶｅｒｇｅｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉ０ｎ　ｏｆ　ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｉｎｉｎｇ　

ｑｕａｓｉ－Ｗｉｌｓｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＭＡ　Ｇｕｏ－ｆｅｎｇ　，ＳＨＩ　Ｄｏｎｇ－ｙａｎｇ。　

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｑｕａｓｉ—Ｗｉｌｓｏｎ　ｉｆｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍａｉｎｌｙ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｏｆｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ，ｔｈａｔ　ｉｓ，ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　ｅｒｒｏｒ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ｏｒ　

Ｏ（ｈ。）（ｗｈｅｎ　ｕ　ｂｅｌｏｎｇｓ　ｔｏ　Ｈ。（　）ｏｒ　Ｈ　（　））ｉｎ　ｂｒｏｋｅｎ　ｅｎｅｒｇｙ　ｎｏｒｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｏｎｅ　ｏｒｄｅｒ　

ｈｉｇｈｅｒ　ｔｈａｎ　ｉｔｓ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ，ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｔｉｍｅ　ｔ，ｔｈｅ　

ｋｎｏｗｎ　ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｂｉｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｐｏｓｔ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｔｈｅ　ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　

ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ａｎｄ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　

ｗｉｔｈ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ａ　ｎｅｗ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｑｕａｓｉ－Ｗｉｌｓｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔ；ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｐｏｓｔ　ｐｒｏ－　

ｃｅｓｓｉｎｇ；ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　

ＭＲ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：６５Ｎ１５；６５Ｎ３０