軌跡方程的 幾種求法整理(例題+答案)

2023年12月3日發(fā)(作者：風(fēng)詩句)

軌跡方程的六種求法整理

求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學(xué)們參考.

求軌跡方程的一般方法：

1. 直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。

2. 定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程

3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t）， y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

5. 交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

6. 待定系數(shù)法：已知曲線是圓，橢圓，拋物線，雙曲線等

一、直接法

把題目中的等量關(guān)系直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y,的方程基本步驟是：建系。設(shè)點(diǎn)。列式?；?。說明等，圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

·PB?x2，求點(diǎn)P的軌跡。y2?x?6， 1. 已知點(diǎn)A(?2，，0)B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足PA2. 2.已知點(diǎn)B（－1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PC|?|BC|?PB?CB.

（1）求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；

（2）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.

（3）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1·k2=2.求證：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).

解：（1）設(shè)P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得 二、定義法

(x?1)2?y2?1?x,化簡得y2?4x.

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．

1、 若動(dòng)圓與圓(x?2)?y?4外切且與直線x=2相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡22方程是

1 解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為M，由題意，動(dòng)點(diǎn)M到定圓圓心（－2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（－2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開口向左，所以方程是y??12(x?1)．選（B）．

2、一動(dòng)圓與兩圓x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為

22222MO?r?1,解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r，則有MC?r?2,動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之差MC?MO?1.為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支

3、在△ABC中，BC?24，AC，AB上的兩條中線長度之和為39，求△ABC的重心的軌跡方程．

解：以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，M2為重心，則有BM?CM??39?26．

3

∴M點(diǎn)的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，

其中c?12，a?13．∴b?a2?c2?5．

x2y2

∴所求△ABC的重心的軌跡方程為??1(y?0)．

16925注意：求軌跡方程時(shí)要注意軌跡的純粹性與完備性.

22

4、設(shè)Q是圓x+y=4上動(dòng)點(diǎn)另點(diǎn)A（3。0）。線段AQ的垂直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．

2 5、已知ΔABC中，?A,?B,?C所對應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程

解：|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸為4，焦距為2, 短軸長為23,

x2y2??1,

∴橢圓方程為43又a>b, ∴點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點(diǎn)在x軸上時(shí)不能構(gòu)成三角形，故x≠─2,

x2y2??1(─2

6、一動(dòng)圓與圓x?y?6x?5?0外切，同時(shí)與圓x?y?6x?91?0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

解析：（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，

將圓方程分別配方得：(x?3)?y?4，(x?3)?y?100，

當(dāng)①

當(dāng)②

將①②兩式的兩邊分別相加，得|O1M|?|O2M|?12，

即③

移項(xiàng)再兩邊分別平方得：

22222222M與O1相切時(shí)，有|O1M|?R?2

M與O2相切時(shí)，有|O2M|?10?R

y

P

O2

x

(x?3)2?y2?(x?3)2?y2?12

O1

2(x?3)2?y2?12?x ④

兩邊再平方得：3x?4y?108?0，

22x2y2??1， 整理得3627x2y2??1，軌跡是橢圓。 所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是3627（法二）由解法一可得方程(x?3)?y?(x?3)?y?12，

由以上方程知，動(dòng)圓圓心M(x,y)到點(diǎn)O1(?3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12，所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1(?3,0)、O2(3,0)，長軸長等于12的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

∴2c?6，2a?12，∴c?3，a?6，

∴b?36?9?27，

22222x2y2??1。 ∴圓心軌跡方程為3627

3 三、相關(guān)點(diǎn)法

此方法適用于動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上點(diǎn)的變化而變化的軌跡問題.

若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．

1、已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

分析解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)．

x2?y2?1有動(dòng)點(diǎn)P，F(xiàn)1,F2是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求?PF1F2的重心M的軌2、雙曲線9跡方程。

解：設(shè)P,M點(diǎn)坐標(biāo)各為P(x1,y1),M(x,y)，∴在已知雙曲線方程中a?3,b?1，∴c?9?1?10

∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為F1(?10,0),F2(10,0)，

∵?PF1F2存在，∴y1?0

?x1?(?10)?10x???x1?3x?3由三角形重心坐標(biāo)公式有?，即? 。

y?3y?1?y?y1?0?0?3?∵y1?0，∴y?0。

(3x)2?(3y)2?1(y?0) 3、已知點(diǎn)P在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有94 即所求重心M的軌跡方程為：x?9y?1(y?0)。

22x22?y＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP4、（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線4的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。

解析：設(shè)P（x0，y0） ∴M（x，y）

x0y04x2,y? ∴2x＝x0，2y＝y(tǒng)0∴∴x?－4y2＝1?x2－4y2＝1

422

5、已知△ABC的頂點(diǎn)B(?3，，0)C(1，0)，頂點(diǎn)A在拋物線y?x2上運(yùn)動(dòng)，求△ABC的重心G的軌跡方程．

?3?1?x0?x?，?x?3x?2，

①?0?3 解：設(shè)G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得?

∴?y?y?0，?y0?3y． ②?3?2 又∵A(x0，y0)在拋物線y?x2上，∴y0?x0． ③

將①，②代入③，得3y?(3x?2)2(y?0)，

4 即所求曲線方程是y?3x2?4x?(y?0)．

3 四、參數(shù)法

如果不易直接找出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把x，y聯(lián)系起來．若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直接找到，而動(dòng)點(diǎn)變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程．

OP?1、已知線段AA??2a，直線l垂直平分AA?于O，在l上取兩點(diǎn)P，P?，使有向線段OP，·OP??4，求直線AP與A?P?的交點(diǎn)M的軌跡方程． 滿足OP 解：如圖2，以線段AA?所在直線為x軸，以線段AA?的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系．

?4? 設(shè)點(diǎn)P(0，t)(t?0)， 則由題意，得P??0，?．

?t? 由點(diǎn)斜式得直線AP，A?P?的方程分別為t4y?(x?a)，y??(x?a)．

ata 兩式相乘，消去t，得4x2?a2y2?4a2(y?0)．這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程．

評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動(dòng)點(diǎn)；二是消參，消參的途徑靈活多變.

5 2、設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且OPOQ?tt2?1，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．

?a2?b2?1,yx?解：（1）設(shè)所求橢圓方程為2?2?1(a＞b＞0).由題意得?a解得

ab??t,?b22?2t2a?2.??t?1所以橢圓方程為t2(t2?1)x2?(t2?1)y2?t2．

??b2?1.?t2?1??t2(t2?1)x12?(t2?1)y12?t2,(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y),Q(x1,y1),解方程組?得

?y1?tx1,1?t??x?,x?x???12??2(t?1)OPOPx2???或?tt2?1和?由得???2tOQOQxt1?y??y?.,?y??12??2?2(t?1)???其中t＞1．消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為x?2t2t22,

,2222y(x?)和x2??y(x??)．其2222軌跡為拋物線x?22222y在直線x?y在直線右側(cè)的部分和拋物線x??222x??2在側(cè)的部分．

2x2y23、已知雙曲線2?2=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線mn于點(diǎn)P、Q 求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；

yMA1oA2Px

Q解設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),則A1P的方程為

6 y=y1(x?m)

x1?m ①

A2Q的方程為 y=－y1(x?m)

x1?m22 ②

①×②得 y2=－y12x1?m(x2?m2) ③

x1y1n222又因點(diǎn)P在雙曲線上，故2?2?1,即y1?2(x1?m2).

mnmx2y2代入③并整理得2?2=1 此即為M的軌跡方程

mn224、設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

解法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)

直線AB的方程為x=my+a

由OM⊥AB，得m=－y

xyA由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0

(y1y2)22?a所以y1y2=－4pa, x1x2=

2(4p)所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2

所以a?4pa?a?4p

故x=my+4p,用m=－2oNMBxy代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)

x故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)

解法二 設(shè)OA的方程為y?kx，代入y2=4px得A(2p2p,)

k2k1x，代入y2=4px得B(2pk2,?2pk)

kk(x?2p)，過定點(diǎn)N(2p,0)，

∴AB的方程為y?21?k則OB的方程為y??由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)

解法三 設(shè)M(x,y) (x≠0)，OA的方程為y?kx，

7 2p2p,)

k2k1則OB的方程為y??x，代入y2=4px得B(2pk2,?2pk)

k代入y2=4px得A(由OM⊥AB，得

M既在以O(shè)A為直徑的圓

x?y?222p2px?y?0……①上，

k2k2又在以O(shè)B為直徑的圓

x?y?2pkx?2pky?0……②上（O點(diǎn)除外），

22①?k+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)

25、過點(diǎn)A（－1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點(diǎn).若曲線C的焦點(diǎn)F與P，Q，R三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點(diǎn)R的軌跡方程；

解：要求點(diǎn)R的軌跡方程，注意到點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)是由直線l的運(yùn)動(dòng)所引起的，因此可

以探求點(diǎn)R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系．然而，點(diǎn)R與直線l并無直接聯(lián)系．與l有直接聯(lián)系的是點(diǎn)P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點(diǎn)聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵．

由已知l:y?k(x?1)，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得：

k2y?y?k?0∵

直線l交拋物線C于兩點(diǎn)P、Q∴

4?k??0解得?4???1?k2?0??1?k?0或0?k?1

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)，M是PQ的中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理可知：

yM2?x??1My1?y222??k??,將其代入直線l的方程，得?

2k?y?2M?k?∵ 四邊形PFQR是平行四邊形，

∴

RF中點(diǎn)也是PQ中點(diǎn)M.

4?x?2x?x??3MF2??k∴?

?y?2y?4M?k?又k?(?1,0)?(0,1) ∴

xM?(1,??)．∴ 點(diǎn)R的軌跡方程為y2?4(x?3),x?1.

8 6、垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x–1)分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)P，點(diǎn)B在y軸上且點(diǎn)A分OB的比為1:2，求線段PB中點(diǎn)的軌跡方程

解：點(diǎn)參數(shù)法 設(shè)A(0,t),B(0,3t),則P(t2/2 +1, t),

?t2?1?1?(t2?2)1?x?2設(shè)Q(x,y),則有?,消去t得：y2=16(x–)

242?3t?t?2t?y?2?點(diǎn)評：本題采用點(diǎn)參數(shù)，即點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)在求軌跡方程時(shí)應(yīng)分析動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因，找出影響動(dòng)點(diǎn)的因素，據(jù)此恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)

7、過雙曲線C：x2─y2/3=1的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于點(diǎn)P、Q，以O(shè)P、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求M的軌跡方程

解：k參數(shù)法 當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，取k為參數(shù)，建立點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程設(shè)M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)N(x0,y0), l: y=k(x+2), 代入雙曲線方程化簡得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依題意k≠?3,

∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2),

∴x=2x0=x1

+x2=4k2/(3─k2), y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),

?4k2x??2(x?2)2y2?3?k??1 ∴?, 消去k并整理，得點(diǎn)M的軌跡方程為：412?y?12k?3?k2?當(dāng)k不存在時(shí)，點(diǎn)M(─4,0)在上述方程的曲線上，故點(diǎn)M的軌跡方程為：

(x?2)2y2??1

412點(diǎn)評：本題用斜率作為參數(shù)，即k參數(shù)法，k是常用的參數(shù)設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，但沒有求出P、Q的坐標(biāo)，而是用韋達(dá)定理求x1+x2,y1+y2,從整體上去處理，是處理解析幾何綜合題的常見技巧

8、（06遼寧,20）已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是拋物線y?2px(p?0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA,OB滿足OA?OB?OA?OB.設(shè)圓C的方程為

2x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0

(I) 證明線段AB是圓C的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為解析：(I)證明1:

2225時(shí)，求p的值。

5OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2

22OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB

9 整理得:

OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0

設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則MA?MB?0

22即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0整理得:x?y?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0

故線段AB是圓C的直徑

(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

x1?x2?x???2??y?y1?y2??2y12y22y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?

4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2?

4p2x1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2

x?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2)

24p4p4pp22所以圓心的軌跡方程為y?px?2p

設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2||(y?p)2?p2|pd???

?555p5p|當(dāng)y=p時(shí),d有最小值pp25,由題設(shè)得?p?2.

?555五、交軌法

一般用于求二動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程．其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程．

1、 已知兩點(diǎn)P(?2,2),Q(0,2)以及一條直線?：y=x，設(shè)長為2的線段AB在直線?上移動(dòng)，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程．

解：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動(dòng)而變化，故可設(shè)A(t,t),B(t?1,t?1)，則PA：y?2?t?2(x?2)(t??2),t?2QB：y?2?t?1x(t??1).t?1消去t，得x2?y2?2x?2y?8?0.當(dāng)t=－2，或t=－1時(shí)，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是x?y?2x?2x?2y?8?0.

221 0 以上是求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的主要方法，也是常用方法，如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和角度有明顯的關(guān)系，還可考慮用復(fù)數(shù)法或極坐標(biāo)法求軌跡方程．但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變量的取值范圍．

2、自拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連結(jié)頂點(diǎn)O與P的直線和連結(jié)焦點(diǎn)F與Q的直線交于R點(diǎn)，求R點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)P（x1，y1）、R（x，y），則Q（－∴OP的方程為y=11，y1）、F（，0），

22 ①

y1x，

x1

1）.

22y2x222由①②得x1＝，y1＝，代入y＝2x，可得y＝－2x+x.

1?2x1?2x 六、待定系數(shù)法

FQ的方程為y=－y1（x－ ②

當(dāng)曲線（圓、橢圓、雙曲線以及拋物線）的形狀已知時(shí)，一般可用待定系數(shù)法解決.

1、已知Ａ，Ｂ，Ｄ三點(diǎn)不在一條直線上，且A(?2，0)，B(2，0)，AD?2，

1AE?(AB?AD)．

2（1）求E點(diǎn)軌跡方程；

（2）過A作直線交以A，B為焦點(diǎn)的橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距

離為4，且直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓方程．

51 解：（1）設(shè)E(x，y)，由AE?(AB?AD)知E為BD中點(diǎn)，易知D(2x?2，2y)．

2 又AD?2，則(2x?2?2)2?(2y)2?4．

即E點(diǎn)軌跡方程為x2?y2?1(y?0)；

（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，中點(diǎn)(x0，y0)．

x2y2 由題意設(shè)橢圓方程為2?2?1，直線MN方程為y?k(x?2)．

aa?4

∵直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，

∴2kk2?1?1，解得k??3．

33(x?2)代入橢圓方程并整理，得4(a2?3)x2?4a2x?16a2?3a4?0，

3x1?x2a2??

∴x0?，

22(a2?3) 將y??1 1 a24x2y242 又由題意知x0??，即

?，解得a?8．故所求的橢圓方程為??1．22(a?3)58452、已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=x2a2?y2b220,橢圓C2的方程為3=1(a＞b＞0)，C2的離心率為2，如果C1與C2相交于2A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.

y2x22.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為2?2=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,

22bb又x122b2?y12b2?1,x222b2?y22b2=1,兩式相減，得x12?x222b2?y12?y22b2=0,

即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡得代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.

有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=y1?y2=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,

x1?x224b2?722020,得2?，解得b2=8.

?2(x1?x2)?4x1x2?9332x2y2故所求橢圓方程為=1.

?168x2y23、已知直線y??x?1與橢圓2?2?1(a?b?0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中ab點(diǎn)在直線l:x?2y?0上.

（１）求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的在圓x?y

22?4上，求此橢圓的方程.

?y??x?1，?講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).則由?x2 得

y2?2?2?1b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0, 根據(jù)韋達(dá)定理，得

2a22b2,y1?y2??(x1?x2)?2?2,

x1?x2?222a?ba?ba2b2,2 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2）.

22a?ba?b1 2 a22b2?2?0,?a2?2b2?2(a2?c2)?a2?2c2 故橢圓的離心 由已知得222a?ba?b率為e?2 .

2 （2）由（1）知b?c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0), 設(shè)F(b,0)關(guān)于直線l:x?2y?0的對稱點(diǎn)為(x0,y0),則解得

x0?y0?01x?by???1且0?2?0?0,

x0?b22234b且y0?b

553242222由已知得

x0?y0?4,?(b)?(b)?4,?b?4

55x2y2??1 . 故所求的橢圓方程為841 3