19_9(1) 勾股定理

2024年2月15日發(作者：水滸傳人物形象)

§19.9(1) 勾股定理

一、教材分析

勾股定理是學完直角三角形性質后實行的拓展，它具體揭示了直角三角形三條邊之間的關系。它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等相關知識的基礎之上，所以在學完以上知識點后實行學習，與實數、二次根式、方程有著密切的聯系，是幾何中最重要的定理之一。同時，也是初三幾何中解直角三角形及圓中相關計算的必備知識。

二、學情分析

（3）班共有42名學生，少部分同學學習積極性較高，能較好的完成學習任務。大部分學生學習習慣不是很好，從課堂上看，學習興趣還是有的，但是注意力無法長時間集中，不愿意花時間動腦思考問題，對于課堂例題的模仿型習題能夠較好的完成，但是遇到些微的變式問題就十分困難。從作業上來看，作業常出現計算錯誤，審題不清漏看條件，且缺乏獨立意識，喜歡與他們對答案等等行為。存有有極個別學生對學習有抵觸情緒。

三、教學目標

1、通過對幾種常見的勾股定理驗證方法的欣賞，體會數形結合的思想方法。

2、了解勾股定理的重要性以及在人類重大科技發現中的地位，感受人類文明、理性精神。

3、掌握勾股定理，能用勾股定理解決基本的相關證明和計算。

四、教學重點、難點

重點:掌握勾股定理的內容

難點:勾股定理的證明

五、教學方案設計

一、創設情景、引入興趣

猜猜這個紙制品是什么，圖片中的三個正方形的擺放圖形有什么意義么？通過這個枚1955年希臘發行的紀念畢達哥拉斯學派的郵票引入。回顧初中階段還有哪些知識接觸到畢達哥拉斯學派，融入人文精神，并且引入勾股定理

二、探索新知

通過初一年級時畢達哥拉斯學派的回憶，回顧初一年級時引入無理數的圖像，推廣到兩個邊長為a的正方形變形拼接成一個大正方形求新大正方形的面積與邊長。拼接后回答下面的問題

如圖，已知一個等腰直角三角形ABC，AB是斜邊。AB=2a，AC=BC=a

ABC

（1）分別以這個三角形的各邊為邊向外部作正方形，這樣所作的三個正方形面積之間有怎樣的等量關系。

（2）在一個等腰直角三角形中，兩條直角邊與一條斜邊在數量上有怎樣的等量關系。

通過觀察，可知兩條直角邊AC、BC為邊的兩個正方形的面積之和等于以斜邊AB為邊的那個正方形的面積。

即等腰三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

上述性質是兩個邊長相等的正方形拼出的圖形得到的結論，那么回到起初的那張郵票，通過觀察發現郵票和我們拼出的圖形十分相似，但是又有點不一樣，

小正方形的面積不完全相同。解決那個郵票上圖案代表的意思，既是勾股定理的具體結論。

此部分，教師引導學生利用網格來提示說明三個正方形的面積關系，從而說明中間空白部分的直角三角形的直角邊與斜邊的關系。

最終得到了勾股定理:直角三角形直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

即Rt△ABC，∠C=90°時，AC=a，BC=b，AB=C時，勾股定理的其他證明方法:

隨后展示我國古人趙爽的證明方法，經歷這個過程，感受勾股定理的證明的多樣性，以及我國濃厚的歷史文化。穿插西方對于勾股定理的研究，感受勾股定理是人類文明的瑰寶，科學是不分國界的。

三、鞏固新知

例1:Rt△ABC，∠C=90°時

(1)若BC=5，AC=12，求AB

(2)若BC=7，AC=24，求AB

例2:求變長是1的等邊三角形的面積

已知:三角形ABC，AB=AC=BC=1，求S△ABC

提示:作底邊上的高。

通過這部分的例題，學生掌握解題步驟，嘗試使用勾股定理，期中第二題是實行一定的變式，實質是知道斜邊與一條直角邊求另一條直角邊

四、學生課內練習

完成書本P141習題

五、回家作業

完成練習冊§19.9（1）

ABC

小組為單位查詢資料，其他人對勾股定理的驗證方法，另尋時間實行交流，加強學習興趣。

附件1當整數n = 2時，關于x, y, z的不定方程有正整數解。可看作勾股定理

費馬大定理: 當整數n > 2時，關于x, y, z的不定方程不存有正整數解。

附件2:勾股定理的故事、郵票

畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；這位善于觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不但僅欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數]之間的關系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 ab為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇，于是再以兩塊磁磚拼成 的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設: 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。

為紀念二千五百年前一個學派和宗教團體——畢達哥拉斯學派成立以及它

在文化上的貢獻，1955年，希臘發行了一張郵票，圖案由三個棋盤排列而成。這個圖案是對數學上一個非常重要定理的說明。在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達哥拉斯定理。為什么一個定理有這么多名稱呢？

商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，處于奴隸社會時期。在中國古代大約是西漢的數學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度。”天的高度和地面的一些測量的數字是怎么樣得到的呢？商高說：“故折矩以為勾廣三，股修四，經隅五。”即我們常說的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高答話的意思是：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”。

關于勾股定理的發現，《周髀算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”“此數”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。

歐洲人則稱這個定理為畢達哥拉斯定理。畢達哥拉斯（PythAgorAs）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人。希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公

元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。并且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了。