八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理(1)(人教版)

2024年2月15日發(fā)(作者：福建科技館)

勾股定理

一、教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握勾股定理及其證明。

2．通過講解我國古代學(xué)者發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用勾股定理的成就，對學(xué)生進(jìn)行受國主義教育、學(xué)習(xí)目的教育。

二、教學(xué)重點、難點

重點；勾股定理的證明和應(yīng)用。

難點：勾股定理的證明。

三、教學(xué)過程

引言:直角三角形三邊之間有一種特別重要的關(guān)系，早在我國古代就引起人們的興趣。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。介紹商高答周公的勾三股四弦必五的故事。

人們還發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中勾為6，股為8，弦必為10；勾為5，股為12，弦必為13，……。而32+42=52，62+82=102，52+122=132，……即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有這種性質(zhì)呢？

事實上，可以證明，對于所有的直角三角形的三邊都有這種關(guān)系，此關(guān)系我國把它稱為“勾股定理”，現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)這個定理。

新課

勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。即a2+b2=c2。

對于這個定理的證明可按教科書中所給的方法。根據(jù)教科書中的方法事先用硬紙片拼好圖形1-104。

a b b a

a a c a a b

a c c

b

b c b b b c c a

a b a b

圖 1-104

（1）先讓學(xué)生觀察，拼成的兩個正方形邊長都是a+b，則面積相等。再看這兩個正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。

（2）分別寫出左、右兩個正方形的面積：

1ab?a2?b2。

212右邊的正方形是四個全等直角三角形與一個正方形組成，其面積為4?ab?c。

2在邊正方形是四個全等直角三角形與兩個正方形組成，其面積為4?（3）左、右兩個正方形面積相等，即

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a?b?4?∴

a?b?c。

2222211ab?c2?4?ab，

22a?c?b（4）勾股定理的變形。今后在運(yùn)用勾股定理時，根據(jù)需要可將其變形為：或b?c?a，從而可知，在Rt△中已知兩邊可求出第三邊。

222222向?qū)W生說明，這種證法是采用割補(bǔ)拼接（稱拼圖）的方法。在拼補(bǔ)過程中只要沒有重疊、沒有空隙，而面積不會改變，利用計算也可以證明幾何命題，而且是一種常用的證明方法。

勾股定理的證明方法很多，以后還會用其它方法來證明。

我國發(fā)現(xiàn)勾股定理的時間比較早，在公元前一世紀(jì)《周髀算經(jīng)》里記載著夏禹（公元前21世紀(jì)）和商高（公元前1120年）發(fā)現(xiàn)了這個定理。春秋時代（公元前6、7世紀(jì)）陳子也對這個定理作出了很大貢獻(xiàn)，所以也叫陳子定理。又由于古書中記有“勾廣三，股修四，徑隅五”，因此這個定理就稱為勾股定理。

在西方最早發(fā)現(xiàn)這個定理的相傳是公元五百多年古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，所以西方多稱“畢達(dá)哥拉斯定理”，他們的發(fā)現(xiàn)比我國晚了好幾百年。我們的祖先是勤勞智慧的！

勾股定理是平面幾何中一個十分重要的定理，它反映了直角三角形中三條邊之間 的數(shù)量關(guān)系，在理論和實踐中應(yīng)用很廣。

課堂提問

在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，（1）已知a=6，b=8，求c；

（2）已知a=40，c=41，求b；

（3）已知∠A=30°，a=2，求b、c；

（4）A=45°，c=4，求a、b。

講解教科書P99例1。

解題時注意書寫格式。

小結(jié)

勾股定理是Rt△的一個重要性質(zhì)，利用它計算線段長度就非常方便。它不僅在數(shù)學(xué)上用處很廣，所以務(wù)必掌握勾股定理。

練習(xí)：教材P100中1，2。

作業(yè)：教材P106中2，3，4。

思考題：教材P109勾股定理的證明。

四、教學(xué)注意問題

1．使學(xué)生理解利用拼圖拼接（掌握原則不重不漏）也是證明幾何命題的一種方法。

2．靈活運(yùn)用勾股定理，掌握在Rt△中已知兩邊求第三邊的方法。

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