有限元方法超收斂性綜述

2024年3月12日發(作者：工程業績表模板)

有限元方法超收斂性綜述

專業方向 計算數學 學號 082111026 姓名 何果

一、有限元方法簡介

有限元法的基本思想是將結構離散化，用有限個容易分析的單元來表示復雜的對象，

單元之間通過有限個節點相互連接，然后根據變形協調條件綜合求解。由于單元的數目是

有限的，節點的數目也是有限的，所以稱為有限元法（Finite Element Method）。在19

世紀末及20世紀初，數學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展開函數來表達其上

的未知函數。1915年，數學家伽遼金提出了選擇展開函數中形函數的伽遼金法，該方法被

廣泛地用于有限元。1943年，數學家庫朗德第一次提出了可在定義域內分片地使用展開函

數來表達其上的未知函數。這實際上就是有限元的做法。

有限元方法是解偏微分方程數值解一中行之有效的數值計算方法，廣泛應用與科學與

工程計算各領域，它已經取得了巨大的成功。馮康先生在1965年著名的論文《基于變分

原理的差分格式》中第一次獨立闡明了有限元方法的實施數學實質和理論基礎，這是第一

次系統的采用連續的工具特別是偏微分方程的工具來處理離散化的技術，更確切地說，有

限元法就是為了對一些工程問題求得近似解的一種數值方法，從數學的角度來講，有限元

法是從變分原理或加權殘數法出發，通過區域剖分和分片插值，通常是分片多項式插值，

把偏微分方程的求解化為線性方程組的求解。

然而，直接從有限元解計算所得的導數在單元邊界不連續且整體精度不高，網格加密

呵有限元次數增加能適當改善精度，然而隨著網格的加密和多項式次數的提高，有限元方

法產生的線性代數方程組的階將暗幾何級數增長，但是計算機技術發展的速度總是趕不上

有限元方法對它的這種需求。因而怎樣對有限元方法所得到得數值結果事后進行某種加工

（這種加工工作量極小）來提高有限元解及其導數的精度是有限元研究的一項重要內容。

在這一方面前輩們已經做出的很多出色的工作。

二、有限元的超收斂性歷史回顧和當前進展

有限元的超收斂現象最早由工程師發現，早在1967年ZienkiewiczCheung就在《The

finite element in structural and continuum mechanics》中指出在計算在計算中發現線

性有限元解得導數在某些特殊點上有特別高的精度。這種奇特的現象后來被

Douglas-Dupont稱為有限元的超收斂性。通常，這些特殊的點稱為應力佳點，不久還發

現有限元本身在一些特殊點上也有超收斂性，這些特殊的點稱為位移佳點。應力佳點和位

移佳點統稱為超收斂點。

超收斂的意義是非常明顯的。利用超收斂性質可以在不大幅增加計算量和存儲量的情

況下顯著地提高有限元解及其導數的精度，超收斂還是構造有限元漸進準確后驗誤差指示

子的有力工具。

1969年，前蘇聯人Oganesjan-Ruhovets對線性三角元（直角元）得到一個重要的

估計（第一型弱估計）

a(u

h

?u

I

,v)?a(u?u

I

,v)?O(h

2

)u

從而得到

3,2

h

v

1,2

, ?v?S

0

(?)

u

h

?u

I

1,2

?O(h

2

)

后來，這個公式被林群稱之為有限元的超逼近。盡管當時Oganesjan-Ruhovets并沒

有直接得到逐點的超收斂估計，但是這項工作對開辟研究有限元問題的新途徑有益的。然

而這樣的工作至少8年沒有被人注意，直到1977年和1978年才分別由捷克人Zlamal

和我們中國人陳傳淼--朱起定各獨自地發現。從此開啟了有限元收斂研究二十多年的蓬勃

發展。國際上研究超收斂已30多年，我國學者78年以獨立與國外證明了超收斂性，隨后

在長達20多年的時間里做了深入系統的研究，建成了具有中國特色的超收斂理論方法體

系。在芬蘭（1996、主席Krizek,Neittaamaki）和美國（2000，主席Babusk，Wahlbin）

曾分別召開過兩次有限元超收斂國際會議，特邀中國林群，陳傳淼和黃云清報告。兩次會

議都充分中國學者的開創性工作，并公認中國超收斂學派是國際三大學派之一，另兩個學

派是美國Ithaca和Texas學派。

有限元超收斂的研究自七十年代起至今方興未艾，現有的研究工作，基本遵循兩種途

徑：

一是找出有限元插值逼近的超逼近點，然后利用插值弱估計等手段導出有限元及其導

數本身 具有的超收斂性質，也就是所謂的有限元天然超收斂性。這一方面的工作已經做得

比較精致，國際上公認的有限元超收斂三大學派（美國的Ithaca,Texas及中國學派）都做

出了很大的貢獻，其結果已經寫入多本專著，如陳傳淼的《有限元方法及其高精度分析》，

林群和寧寧的《高效有限元構造與分析》，等等。

在中國，最先以陳傳淼、朱起定為代表，提出了“單元合并”技巧及后面發展的單元

分析方法，解決了兩個基本估計并得到相應的一些超收斂結果，是中國超收斂研究的先行

者；以林群、朱起定為代表提出了“離散Green函數-兩個基本估計-漸進展開”框架，奠

定了解決逐點超收斂性、外推、插值處理、校正等問題的理論基礎。

1982年，在 “北京中法有限元國際討論會”上，朱起定綜合分析了國內外已有的超

收斂結果，把有限元超收斂估計歸結為兩個基本估計（弱估計）：

a(u

h

?u

I

,v)?O(h

p?1

)v

1,q

a(u

h

?u

I

,v)?O(h

p?2

)v

h

?v?S

0

(?),1?q?2

2,q

其中

p

為有限元次數。利用離散Green函數的基本估計，妥善地給出了解決逐點超收

斂問題的基本框架——“離散Green函數——兩個基本估計”框架。

1985年朱起定教授建立了一套完整的離散

Green

函數理論，總結了中國有關于天然超

收斂性的全部工作，寫成了“有限元超收斂理論”的第一份講義，此講義在全國廣泛流行，

1986年林群院士將他的“漸進展開式——外推”的一些成果編入該講義的第六章再次散

發全國。1989年朱起定與林群共同完成了同名專著《有限元超收斂理論》。這是國際上第

一本全面系統地闡述關于二階橢圓問題的有限元超收斂理論的專著。

在美國，以Schatz、Sloan、Wahlbin為代表形成了Ithaca學派，在他們確立的內估

計理論的基礎上，利用“局部對稱處理技巧”得到一個較普遍的超收斂結果，它適用于所

有二階橢圓邊值問題。

Texas學派的代表人物是有限元研究的元老Babuska，他們基于計算機搜索系統研究

了有限元的超收斂性，不僅檢驗了已有的超收斂理論結果，還獲得了許多新的結果，為廣

大理論工作者提供了大量的嶄新的課題。

二是利用各種后處理技術來導出經過后處理的有限元解得超收斂性質。值得一提的是，

在20世紀80年代，中國人在校正，外推及插值處理等方面做出了很多出色的工作。

實際上，直接從有限元解計算所得出來的應力場在單元邊界上不連續且精度不高。因

此如何利用有限元的天然超收斂性質來改善有限元的精度便成了許多人關心的問題。為獲

得更高精度的解，目前流行的后處理技術有：

1、平均和局部插值技術

自二十世紀六十年代有限元方法被用于工程與科學技算中伊始，為獲得更理想的結果，

節點導數的平均就自然地被用于實際計算中去。事實上，早期（二十世紀七十年代末）的

超收斂結果大多是在平均意義下得到的。雖然這種方法是如此原始、直觀，但是它的成功

與超收斂點的存在確實密切相關的。之后各種形式的平均和局部投影技術都被用來改善有

限元解及其導數的精度。

2、整體投影技術

改善有限元的精度的另一個比較直觀的方法是對有限元節點導數值作整體

C

0

連續的插

值（一般來說插值基函數與有限元計算中的基函數一致）或其他整體投影。但是這樣做運

算量太大，而且對二次元這樣做精度沒有明顯的提高。

3、外推技術

有限元外推是有限元發展的一個重要方面。1983年，林群-呂濤-沈樹明運用“離散

Green函數——兩個基本估計”框架思想，提出了“離散Green函數——漸進展開式”

的新框架，利用一個漸進展開式（對一次元）：

h

a(u

h

?u

I

,v)?Ch

?

D

4

uvdxdy?O(h

4

)v

1,1

?v?S

0

(?)

?D

和離散Green函數的幾個估計解決了困難的二維外推問題，從而開創了對有限元的外

推等一系列問題的系統研究，之后有限元外推經過林群及其合作者呂濤、沈樹明、陳傳淼、

朱起定、Rannacher、Blum、許進超、王軍平等的進一步發展，這方面文獻有如：《有限

元的預處理與后處理理論》。

4、超收斂單元片應力回復技術

1987年Zienliewicz-Zhu提出了一種基于后處理技術的誤差估計方法——ZZ方法，

并于1992年完整系統的提出了超收斂單元片應力回復技術（Super converence Patch

Recovery），簡稱SPR技術。由于它具有計算簡單，效果顯著，易于理解，和現有的有限

元應用軟件接口方便等等特點，因此一經提出就受到了工程界的廣泛歡迎，并被Babuska

等人認為是用于漸進準確的后驗估計效果最好的技術之一。自此，有限元后處理技術從理

論研究走向實際應用，進入了一個全新的發展階段。

該技術的基本思想是在單元片（由圍繞公共節點

本點進行最小二乘曲面擬合以獲得節點

z

0

的所有單元所組成）上利用幾個樣

z

0

及其他點的應力的恢復值，其中所選取的這些樣

本點基本上是應力的超收斂點或高精度點。在一致剖分意義下，無論是一維還是二維情形，

對偶次有限元利用SPR技術都可以獲得節點應力的強超收斂結果，即比整體最優收斂階高

兩階的精度；而對奇次有限元獲得了超收斂結果，但遺憾的是未能獲得強超收斂結果。

SPR技術提出以后，在理論上Z.M. Zhang，，等人已經分別對兩點邊值

問題、二維矩形元、三角形線性元證明了利用SPR技術得到的一系列結論，并對其結論從

理論上給予了某些推廣。

2001年張鐵提出了“導數小片插值恢復技術”。這種技術可以用于計算有限元內節點

處的導數的近似值，并且在小片恢復區域上既有整體超收斂性。在一定得條件下，利用這

種技術甚至可以獲得幾點的強超收斂性。

2003年朱起定和趙慶華對兩點邊值問題給出了一個新的校正格式，利用投影型插值分

p?2

p?3

O(h)

O(h)

（

p

為有限元次數）的強超收斂結果。 別得到了應力和位移和

回顧單元分析法歷史。 對直角三角形網絡上的線性有限元

OGANESYAN-RUKHOVETZ證明了一個超收斂估計

u

h

?u

I

1,?

u

h

與線性插值

,

u

I

,1969年

?O(h

2

)

但他們沒有導出實用的超收斂結果. 1977 年ZLAMAL 研究了n = 1 ,2 次矩形元，在

所有單元的n ×n階Gauss 點上得到了梯度Duh 的超收斂結果。 在中國，陳傳淼(1978)

首次研究了三角形線元梯度的超收斂性，陳傳淼、朱起定(1978) 研究了一般二階方程1 ，

2 次矩形元梯度的超收斂性。 陳傳淼研究了任意次一維元(1979) 及任意矩形元(1981) 的

函數及梯度的超收斂性。朱起定(1981) 還研究了三角形二次元。此后，許多中國學者投入

了這種研究，如林群、呂濤、許進超、黃云清、楊一都等等。這樣，在中國逐漸形成了單

元正交分析方法。我們在思想方法上有兩個主要貢獻：①對多種類型單元，成功地構造了

相應的單元正交展開及所需的超接近函數uI。②在多維情形，為消除單元邊界上的線積分，

提出了單元合并消除技術，并導出弱估計。這些目前已成為研究超收斂的基本技巧而被廣

泛采用。

單元正交分析的最大優點是能解決多種多樣的問題，而且常可將超收斂結果一直做到

邊界有效。而國外的局部平均法及近年發展的局部對稱理論，皆只限于討論區域內部的超

收斂性質，因此在工程設計中難以采用。

經過長達20 多年的不懈研究，已積累了較豐富的成果(包括許多外國學者的工作) 。

陳傳淼將主要超收斂結果歸納為四個法則： ①均勻網格上兩類基本的超收斂結構; ②對一

般區域,采用分塊(幾乎) 均勻剖分； ③對奇異解,采用朝奇點局部加密的等級網格； ④在一

定正規性條件下，上述三法則對其它問題,如二階橢圓組，拋物與雙曲方程及非線性問題等,

皆自動有效。 這些法則為使用者提供了簡明的指導。

有限元超收斂的最新進展和發展趨勢主要有：

1、 研究的問題非線性化，以往有限元超收斂研究的問題是線性的。還有就是研究的

問題階數比以往提高了。這方面的文獻如張鐵的《四階橢圓問題的有限元導數恢復技術與

超收斂性》。

2、 有限元方法超收斂與有限元高精度后處理技術結合。通過這兩方面的優勢互補，

使得有限元更加好的解決問題。

3、 其他偏微分方程數值解方法中的超收斂現象的研究，由于超收斂性并不是有限元

獨有的性質，這樣進一步促進了其他數值方法的發展。

4、 與多重網格方法及其他一些技術復合，能夠給出更加精確地方程數值解。這方面

的文獻有如李郴良、 陳傳森、許學軍的《基于超收斂和外推方法的一類新的瀑布型多重網

格方法》。

總之，有限元方法超收斂的超收斂性已經應用的越來越廣泛，廣泛地與其他技術結合，

使得對一些目前來說比較困難的問題的解決提供可能。預計，今后這一技術還將會有更大

的輝煌。