2020屆陜西省安康中學(xué)高三三模(文科)數(shù)學(xué)試題(解析版)

2024年1月4日發(fā)(作者：國慶節(jié)觀后感)

2020屆陜西省安康中學(xué)高三三模（文科）數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．若集合A?yy?0，AIB?B，則集合B不可能是（ ）

x?????1?A．yy?x,x?0 B．?yy???,x?R?C．?yy?logx,x?0?

D．?

?2?????????2．已知i是虛數(shù)單位，則1?2i等于（ ）

2?i4?i

5C．A．i B．43?i

55D．?i

3．過點(diǎn)A?2,3?且垂直于直線2x?y?5?0的直線方程為（ ）

A．x?2y?5?0 B．2x?y?7?0 C．x?2y?3?0 D．x?2y?4?0

4．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意的x1,x2?(??,0)，當(dāng)x1?x2時，總有f(x1)?f(x2)”的是（ ）

A．f(x)?(x?1)

2B．f(x)?ln(x?1) C．f(x)?1

xD．f(x)?e

x5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5?5a3，則S9?（ ）

S5A．2

25B．

9C．9

9D．

256．將函數(shù)y?cos2x的圖象向右平移表達(dá)式可以是（ ）

A．f(x)??2cosx

π個單位，得到函數(shù)y?f(x)?sinx的圖象，則f(x)的4B．f(x)?2cosx

C．f(x)?2sin2x

2D．f(x)?2(sin2x?cos2x)

27．設(shè)x,y是0,1,2,3,4,5中任意兩個不同的數(shù)，那么復(fù)數(shù)x?yi恰好是純虛數(shù)的概率為（ ）

A．1

6B．1

3C．1

5D．1

308．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，

則該幾何體的表面積是（ ）

A．2(π?3) B．2π?3 C．π?3 D．π?23

9．閱讀如圖的程序框圖，若輸入n?6，則輸出k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

uuuruuuruuuruuur10．在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2PA?PC?AB?PB，那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是（ ）

A．3

4B．1

2C．1

3D．2

33AB，11．已知四面體P?ABC的外接球的球心O在AB上，且PO?平面ABC，2AC?若四面體P?ABC的體積為3，則該球的體積為（ ）

2C．22π D．43π A．3π B．2π

12．已知定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足①對任意x，都有f(x?3)?f(x)成立；②當(dāng)x?[0,]32時，f(x)?A．4

331?|?2x|，則f(x)?在??4,4?上根的個數(shù)是（ ）

|x|22B．5 C．6 D．7

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x

y

2

2．2

3

3．8

4

5．5

5

6．5

6

7．0

?=bx+a，其中已知b?1.23，請若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為y估計(jì)使用年限為20年時，維修費(fèi)用約為_________．

?3x?y?6?0?14．設(shè)x，y滿足約束條件?x?y?2?0，若目標(biāo)函數(shù)z?ax?by(a?0,b?0)的最大值是?x?0,y?0?a2b2?的最小值為________． 12，則94n*15．已知數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn，且a1?1，an?1?an?2n?N，則S2020? ．

??x2y216．已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的左右焦點(diǎn)是F1,F2，設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，abuuuuruuuruuurπ且它們的夾角為，則雙曲線的離心率e是 ．

F1F2在F1P上的投影的大小恰好為F1P，6三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)?sin(?x?)?2cosπ62?2x?1(??0)．直線y?3與函數(shù)y?f?x?圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為π．（1）求?的值（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是B(a、b、c．若點(diǎn),0)是函數(shù)y?f?x?圖象的一個對稱中心，且b?3，求△ABC外接圓的2面積．

18．（12分）為了增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)境意識，某中學(xué)隨機(jī)抽取了50名學(xué)生舉行了一次環(huán)保知識競賽，

本次競賽的成績（得分均為整數(shù)，滿分100分）整理，制成下表：

成績

頻數(shù)

?40,50?

2

?50,60?

3

?60,70?

14

?70,80?

15

?80,90?

14

?90,100?

4

（1）作出被抽查學(xué)生成績的頻率分布直方圖；

（2）若從成績在?40,50?中選一名學(xué)生，從成績在?90,100?中選出2名學(xué)生，共3名學(xué)生召開座談會，求?40,50?組中學(xué)生A1和?90,100?組中學(xué)生B1同時被選中的概率？

DE?平面ABCD，AF//DE，DE?4AF． 19．（12分）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，（1）求證：AC?平面BDE；（2）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM//平面BEF，并證明你的結(jié)論．

x2y220．（12分）設(shè)橢圓C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，離abuuuuruuur1心率e?，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，且BF2?2BF．（1）若過A、B、F2三點(diǎn)的圓恰好與12直線l:x?3y?3?0相切，求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l?與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)p（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

21．（12分）已知函數(shù)f(x)?2ln(2x)?x．（1）若函數(shù)g(x)?f(x)?ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)h(x)?2f(x)?3x?kx(k?R)，若h(x)存在兩個零點(diǎn)m，n且2x0?m?n，證明：函數(shù)h(x)在(x0,h(x0))處的切線不可能平行于x軸．

22

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．

22．（10分）【選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程】

在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0)到直線l:?sin(??)?m(m?0)的距離為3．

（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)P是直線l上的動點(diǎn)，Q在線段OP上，且滿足|OP|?|OQ|?1，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形．

23．（10分）【選修4-5：不等式選講】

已知f(x)?xx?a?2．（1）當(dāng)a?1時，解不等式f(x)?x?2；（2）當(dāng)x?(0,1]時，π4f(x)?

12x?1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2

參考答案

第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．【答案】C

【解析】∵AIB?B，∴B?A，選項(xiàng)C中，?y|y?R?，故不滿足B?A．

2．【答案】D

【解析】1?2i(1?2i)?2?i??5i=???i．

2?i(2?i)?2?i?53．【答案】D

【解析】設(shè)垂直于直線2x?y?5?0的直線方程為x?2y?m?0，

又直線過點(diǎn)A?2,3?，∴2?2?3?m?0，解得m?4，

故所求直線的方程為x?2y?4?0．

4．【答案】C

【解析】由題意知函數(shù)f(x)在(??,0)上是減函數(shù)，故選C．

5．【答案】C

9(a1?a9)S9(a1?a9)9?2a52【解析】∵a5?5a3，又9????9．

5(a?a)S55(a1?a5)5?2a31526．【答案】B

【解析】∵將函數(shù)y?cos2x的圖象向右平移ππ個單位得y?cos2(x?)

44π?cos(2x?)?sin2x?2sinxcosx，

2∴f(x)?2cosx．

7．【答案】A

【解析】有題意知本題是一個古典概型，

實(shí)驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6個數(shù)字中任取2個數(shù)字，共有6?5?30種結(jié)果，

滿足條件的事件是復(fù)數(shù)x?yi恰好是純虛數(shù)，即實(shí)部是0，這樣虛部有5中結(jié)果，

∴復(fù)數(shù)x?yi恰好是純虛數(shù)的概率為8．【答案】A

51?．

306【解析】三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，

然后把截面放在平面上，兩底面相對接的圖形，

圓錐的底面半徑為1，母線長為2，

該幾何體的表面積就是圓錐的側(cè)面積與軸截面面積的2倍的和，

圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，高為3，

11S?2S截面?S圓錐側(cè)=2??2?3??2π?1?2?2229．【答案】B

【解析】n?6時，k?0；

?3?π．

?n?2?6?1?13時，13?100，k?1；

n?2?13?1?27時，27?100，k?2；

n?2?27?1?55時，55?100，k?3；

n?2?55?1?111時，111?100；

∴k?3．

10．【答案】A

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】∵2PA?PC?AB?PB?AB?BP?AP，

uuuruuuruuuruuuruuur∴2PA?PC?AP?3PA?PC?0，

∴點(diǎn)P在邊AC上，且3|PA|?|PC|，∴|PC|3?，

|AC|41|PC|?h|PC|32???．

1|AC|4|AC|?h2AP設(shè)△ABC的AC邊上的高為h，∴S△PBCS△ABCBC

11．【答案】D

【解析】由題意，O為AB的中點(diǎn)，△ABC為直角三角形，

設(shè)AB?2R，由于2AC?3AB，∴AC?3R，BC?R．

又PO⊥平面ABC，O為球心，∴OP?OA?OB?R，

11333VP?ABC???3R?R?R?R?，∴R3?3，

32624V球=π?R3?43π．

3PACOB

12．【答案】B

【解析】由①知函數(shù)f(x)的最小正周期是3，

3?2x(0?x?)??4由②得f(x)??，

33?3?2x(?x?)??42畫出函數(shù)f(x)及f(x)?1的圖像即得．

|x|y-4.5-3-1.5O1.534.5x

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13．【答案】24．68

【解析】∵a?y?bx?2.2?3.8?5.5?6.5?72?3?4+5+6?1.23?=0.08，

55∴當(dāng)x?20時，y?1.23?20?0.08?24.68，

故答案為24．68．

14．【答案】1

2【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，

當(dāng)直線ax?by?z(a?0,b?0)過直線x?y?2?0與直線3x?y?6?0的交點(diǎn)(4,6)時，

目標(biāo)函數(shù)ax?by?z(a?0,b?0)取得最大12，

即4a?6b?12，即2a?3b?6，

a2b2132b2111??(3?b)??(b?1)2??， 則94924222故答案為1．

2101015．【答案】3?2?3

n?【解析】∵數(shù)列?an?滿足a1?1，an?1?an?2(n?N)，

∴a2?a1?2，解得a2?2，

an?1ana2n?n?1?n?2?2， 當(dāng)n?2時，an?2an?12an∴數(shù)列?an?的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比為2．

101021010?122?1??a1?a3?L?a2019???a2?a4?L?a2020???

2?12?1則S2020

??

?3?21010?3，

故答案為3?21010?3．

16．【答案】3?1

uuuuruuuruuur【解析】∵F1F2在FP上的攝影的大小恰好為F1P，∴PF1⊥PF2，

又因?yàn)樗鼈兊膴A角為ππ，∴PF1F2?，

66PF2?c， ∴在Rt△PF1F2中，F(xiàn)1F2?2c，∴PF1?3c，根據(jù)雙曲線的定義PF1?PF2?3c?c?2a，∴所以e?3?1，故答案為3?1．

三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．【答案】（1）??2；（2）3π．

【解析】（1）f(x)?sin?x?cosc?3?1，

aππ1?cos?x?cos?x?sin?2??1

662?3313sin?x?cos?x?3(sin?x?cos?x)

2222π?3sin(?x?)，

3因?yàn)閒(x)的最大值為3，依題意，函數(shù)f(x)的最小正周期為π，

由2π??π，得??2．

π3π3（2）因?yàn)閒(x)?3sin(2x?)，依題意3sin(B?)?0，

πsin(B?)?0，

3

∵0?B?π，?ππ2ππ?B??π，∴B??0，B?，

33333由正弦定理3b?2R，∴R?3，

?2R，sinB32△ABC外接圓的面積為πR2?3π．

18．【答案】（1）見解析；（2）1．

4【解析】（1）各組頻率分別為0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08，

所以，圖中各組的縱坐標(biāo)分別為0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008．

（2）記?40,50?中的學(xué)生為A1，A2；?90,100?中的學(xué)生為B1，B2，B3，B4，

由題意可得，基本事件為AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共l2個，

滿足A1B1同時被選中的事件為A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4共3個，

∴學(xué)生A1和B1同時被選中的概率為P?31?．

12419．【答案】（1）證明見解析；（2）M是BD的一個四等分點(diǎn)，證明見解析．

【解析】（1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE?AC．

因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC?BD，

因?yàn)镈EIBD?D，從而AC?平面BDE．

（2）當(dāng)M是BD的一個四等分點(diǎn)，即4BM?BD時，AM∥平面BEF，

取BE上的四等分點(diǎn)N，使4BN?BE，連結(jié)MN，NF，

則DE∥MN，且DE?4MN，

因?yàn)锳F∥DE，且DE?4AF，所以AF∥MN，且AF?MN，

故四邊形AMNF是平行四邊形，所以AM∥FN，

因?yàn)锳M?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，所以AM∥平面BEF．

1x2y2??1；20．【答案】（1）（2）存在，(0,)．

434c11?，得c?a，所以F1F2?a，

a22uuuuruuurFBF2的中點(diǎn)， 又AF1?AF2?a，由于BF2?2BF1，所以1為線段【解析】（1）由題意所以AF1?AF2?F1F2?a，

所以△ABF2的外接圓圓心為F1(?a,0)，半徑r?AF1?a，

2又過A、B、F2三點(diǎn)的圓與直線l:x?3y?3?0相切，

1?a?32?a，解得a?2， 所以2?c?1，b2?a2?c2?3，

x2y2??1． 所求橢圓方程為43（2）有（1）知F2?1,0?設(shè)l?的方程為y?k(x?1)，

?y?k(x?1)?將直線方程與橢圓方程聯(lián)立?x2y2，

?1???43（3?4k）x?8kx?4k?12?0， 整理得設(shè)交點(diǎn)為M(x1,y1)，N(x2,y2)，

22228k2因?yàn)??4k?0，則x1?x2?，y1?y2?k(x1?x2?2)，

23?4k2若存在點(diǎn)P(m,0)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，

uuuuruuuruuuur由于菱形對角線垂直，所以(PM?PN)?MN?0，

uuuuruuur又PM?PN?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(x1?y2?2m,y1?y2)，

uuuurQMN的方向向量是?1,k?，

故k(y1?y2)?x1?x2?2m?0，

k2(x1?x2?2)?x1?x2?2m?0，

8k28k2k(?2)??2m?0，

223?4k3?4k2由已知條件知k?0且k?R，

1k21?0?m??m??，，

33?4k24?4k2故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是(0,)．

1421．【答案】（1）[?22,??)；（2）證明見解析．

【解析】（1）Qg?x??ln?2x??x?ax，g?(x)?221?2x?a?2x??a(x?0)，

2xx由已知，得g?(x)?0對一切x?(0,??)恒成立，

?2x?1?1??a?0，即a???2x??對一切x?(0,??)恒成立，

x?x?1?????2x????22，?a??22，

x???a的取值范圍為[?22,??)．

222?ln2x?x?3x?kx?2ln2x?x?kx， （2）h?x??2???????由已知得h(m)?2ln(2m)?m?km?0，h(n)?2ln(2n)?n?kn?0．

22?2lnnn?(n2?kn)?(m2?km)，即2ln?(n?m)(n?m)?k(n?m)．

mm

假設(shè)結(jié)論不成立，即h?(x0)?0，則又2x0?m?n，

22?2x0?k?0，?k??2x0．

x0x0?2lnn2?(n?m)(n?m)?(?2x0)(n?m)

mx0?(n?m)(n?m)?(44?m?n)(n?m)?(n?m)，

m?nn?m?lnn2(n?m)?．

mn?m令2?t?1?n?t?(1,??)，則有l(wèi)nt?．

1?tm令?(t)?lnt?2(t?1),t?1．

1?t12?t?1??2(t?1)?(?1)14(1?t2?4t)(t?1)2???(t)???????0．

t(1?t)2t(1?t)2t(1?t)2t(1?t)2??(t)在(1,??)上是增函數(shù)，

∴當(dāng)t?1時，?(t)??(1)?0，即lnt?2(t?1)?0．

1?t∴當(dāng)t?1時，lnt?∴假設(shè)不成立，

2(t?1)不可能成立，

1?t?h(x)在(x0,h(x0))處的切線不平行于x軸．

22．【答案】（1）m?2；（2）(x?22221?13π?)?(y?)?，點(diǎn)Q的軌跡是以?,?為圓心，

8816?44?1為半徑的圓．

4【解析】（1）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2,0)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x?y?2m?0，

由點(diǎn)A到直線l的距離為d?|2?2m|?1?m?3，∴m?2．

2π4（2）由（1）得直線l的方程為?sin(??)?2，

1????0?1??0??，① 設(shè)P(?0,?0)，Q(?,?)，則???????0?????0因?yàn)辄c(diǎn)P(?0,?0)在直線l上，所以?0sin(?0?)?2，②

π4將①代入②，得πsin(??)?2．

?41則點(diǎn)Q的軌跡方程為??1πsin(??)，

2422221)?(y?)?，

8816化為直角坐標(biāo)方程為(x?則點(diǎn)Q的軌跡是以?1?13π?,?為圓心，為半徑的圓．

4?44?1223．【答案】（1）{xx?2}；（2）(?,6)．

【解析】（1）當(dāng)a?1時，不等式f(x)?x?2化為xx?1?2?x?2，

則可得??x?2?1?x?2?x?1或?或?，

?x(x?1)?2?x?2?x(x?1)?2?2?x?x(1?x)?2?2?x可得x??或1?x?2或x?1，

則不等式解集為{xx?2}．

（2）當(dāng)x?(0,1]時，f(x)?12x?1恒成立，

2則xx?a?2?12x?1恒成立，

2

化為1131x??a?x?在x?(0,1]上恒成立，

2x2x111x?在x?(0,1]上為增函數(shù)，則g(x)max??，

2x2而g(x)?h(x)?6313x??2?6，等號成立時x?，

32x2所以a的取值范圍為a?(?,6)．

12